METODOS DE DEMOSTRACION.

LA DEMOSTRACIÓN

El proceso demostrativo consiste básicamente en: A partir de unas proposiciones dadas que llamaremos premisas, obtener otra proposición que llamaremos conclusión mediante la aplicación de unas reglas lógicas.

Para demostrar que una proposición específica es un teorema en una teoría deductiva dada procedemos así:

1. Se enuncian explícitamente los axiomas de la teoría.
2. Se fijan las reglas que validan el proceso demostrativo, estas reglas se denominan reglas de validez y se reducen a las siguientes:

Regla de validez 1: Todo axioma puede figurar en cualquier paso de una demostración.

Regla de validez 2: Si figura en una demostración y P también figura en la misma demostración, entonces se puede concluir Q en la demostración. Esta regla universal se conoce con el nombre de Modus Ponendo Ponens o Modus Ponens.

Regla de validez 3: Si dos proposiciones son equivalentes se puede sustituir la una por la otra en cualquier parte de una demostración. Esta regla se conoce con el nombre de sustitución por equivalencia.

3.    Efectuar una demostración de una proposición específica Q, consiste en               obtener la proposición Q como la última en el proceso demostrativo por aplicación reiterada de las reglas de validez 1, 2 y 3.

Ejemplos:

1.- Si llueve, entonces iré al cine. No llueve. Luego, no iré al cine.

2.-  Si me caigo de la bicicleta, me golpearé. Estoy golpeado; luego, me caí de la bicicleta.

3.- Si trabajo, entonces no estudio. Estudio o repruebo el curso de matemáticas. Aprobé el curso de matemáticas; luego, trabajo.

4.- Si asisto a la escuela conversaré con mis amigos. Luego: si no voy al colegio no conversaré con mis amigos.

TABLAS DE VERDAD.

Dada una interpretación para una sentencia, podemos determinar su valor de verdad bajo esta interpretación aplicando ciertas reglas que dan significado a las conectivas quela constituyen. Para ello partiremos del principio de que el valor de verdad de cualquier sentencia está determinado por los valores de verdad de cada variable proposicional quela compone. Para determinar el valor de verdad de una sentencia para una interpretación determinada, nos podemos ayudar de las denominadas tablas de verdad.

La Tabla de Verdad de una sentencia es una tabla en la que se presentan todas las posibles interpretaciones de las variables proposicionales que constituyen la sentencia el valor de verdad de la sentencia para cada interpretación. Corresponden a un modo mecánico de determinar la verdad o falsedad de una sentencia dada una interpretación de las variables proposicionales que la constituyen.

En la tabla siguiente resumimos las seis tablas de verdad de las seis conectivas vistas.

P	Q	¬p	p^q	pvq	P             q	p               q	P q
V	V	F	V	V	F	V	V
V	F	F	F	V	V	F	F
F	V	V	F	V	V	V	F
F	F	V	F	F	F	V	V

Cada una de las filas de esta tabla corresponde a una interpretación de las variables proposicionales p y q.

Las tablas de verdad no se confinan sólo a la expuesta anteriormente, sino que se hacen tablas de verdad para comprobar mecánicamente los valores de verdad de cualquier sentencia. Por ejemplo, la sentencia

(p ® q) ® ((Ø p) ® (Ø q))

Tendrá cuatro posibles interpretaciones. Para construir la tabla de verdad, en las columnas de la izquierda ponemos los valores de verdad de p y q para cada una de las cuatro posibles interpretaciones. Para cada una de dichas interpretaciones, se va poniendo en columnas sucesivas los valores de verdad de cada una de las subsentencias que la constituyen. La última columna de la derecha tendrá los valores de verdad de la sentencia en su conjunto.

p	q	p           q	¬p	¬q	(¬p)      (¬q)	Sentencia
V	V	V	F	F	V	V
V	F	F	F	V	V	V
F	V	V	V	F	F	F
F	F	V	V	V	V	V

SISTEMA INFERENCIAL DEL CÁLCULO DE PROPOSICIONES.

Inferencia: “Procesos mediante los cuales obtenemos una conclusión a partir de unas premisas de forma que el razonamiento sea válido”.

 Regla de inferencia: “declaración de las condiciones bajo las cuales se puede hacer una inferencia, así como el resultado de la misma”.

Inferencia correcta: la que sigue las reglas “de S®  R y de ØR deducimos que ØS”.

Falacia de negar el antecedente: (Inferencia) negar el antecedente de una premisa condicional para concluir con la negación del consecuente. (De S ®  R y de ØS deducimos que ØR)

Falacia de afirmar el consecuente: (Inferencia) afirmar el consecuente de una premisa condicional para deducir la afirmación del antecedente. (De S ®  R y de R deducimos S).

Conclusión = Consecuencia lógica de las premisas.

Leyes Logicas.

Todas aquellas proposiciones tautológicas son leyes de la lógica proposicional. Por ejemplo:

1	1	0
0	1	1

Es una ley lógica que ya conoció Aristóteles con el nombre de tercero excluido o tertio excluso.

Las leyes lógicas son muy numerosas, pero hay algunas muy importantes que se refieren a la conjunción, disyunción y negador (La significa tautología y la contradicción):

Idempotencia

Asociativa

Conmutativa

Identidad

Absorción

Distributiva

De Morgan

Doble negación

Para desarrollar la lógica proposicional no es necesario utilizar todos los funtores, es suficiente hacerlo con un número mínimo, son los funtores primitivos, a partir de los primitivos se obtienen los derivados.

La conjunción, disyunción y el negador son los primitivos, ya que gracias a la regla de sustitución, los demás funtores como el condicional o el bicondicional se pueden reducir a ellos:

Regla de sustitución

1.

2.

Ejemplos:

Ejercicio 1

1	0	0	1	1	1	1
1	1	1	1	0	1	1
0	0	0	1	1	0	0
0	0	1	1	0	1	0

Es una tautología.

Ejercicio 2

1	1	1	1	1	0	0
1	0	0	1	1	1	1
0	0	1	0	0	0	0
0	0	0	0	0	0	1

Ejercicio 3

1	1	1	1	1	0	0
1	0	0	1	1	1	1
0	0	1	1	0	1	0
0	1	0	1	0	1	0

Es una tautología.

Ejercicio 4

1	1	1	1	0	0	0
1	0	0	0	0	0	1
0	0	1	0	1	0	0
0	0	0	1	1	1	1